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TEMA 8 DISTRIBUCIONES NORMALES

1-LA CURVA NORMAL O DE GAUSS

 

    Cuando hacemos estudios estadísticos sobre fenómenos naturales, sociales y económicos es frecuentísimo observar que se adaptan, más o menos estrechamente, a una serie ideal, a la que llamamos distribución o curva normal.

    Con lo que estudiando la normal es posible inferir resultados a las series que se comportan como ella. Las comparaciones son válidas cuando la muestra a estudio sea lo suficientemente grande.

    ¿Cuándo podemos decir que la distribución a estudio se comporta como una serie normal?

    Hay dos métodos:

-usando un test estadístico (ji-cuadrado)

-por inspección de los valores de la serie

Las series normales cumplen las siguientes condiciones:

.La representación gráfica de sus frecuencias relativas presenta una forma de campana (campana de Gauss).

 

normal1.jpg (9918 bytes)

  • Su valor central es el valor con mayor frecuencia.
  • Decrece hacia los extremos (matemáticamente no llega a cortar el eje horizontal –asintótica respecto al eje de abscisas-).
  • Su media aritmética, mediana y moda coinciden con su eje de simetría. La serie es simétrica.
  • Los valores de la variable que sobrepasan a la media aritmética en tres desviaciones por arriba o abajo tienen frecuencias próximas a cero.
  • El área total bajo la curva normal incluye el 100% de las observaciones.
  • La forma de la curva depende de la media aritmética y de la desviación típica de la serie.

 

Para poder representar y analizar cualquier serie lo que hacemos es convertir los valores de la variable en valores z (puntuaciones típicas).

La variable X que representamos en el eje de abscisas se mide en desviaciones típicas a la derecha y a la izquierda del valor central (Ma).

De esta manera en las distribuciones normales las proporciones relativas de valores situados entre dos dados son siempre las mismas.

  • La media aritmética parte por la mitad la curva, por lo que el 50% de las observaciones está antes de la media aritmética y el 50% después.
  • Las propiedades matemáticas de la curva normal hacen posible especificar la localización precisa de cualquier división proporcional de la curva y así determinar el porcentaje de valores de la serie incluidos entre dos valores cualesquiera.
  • Suele establecerse una clasificación de los valores de las series normales en función de mayor o menor alejamiento de la media aritmética
    • Los valores comprendidos entre la media y una desviación típica reciben el nombre de normales
    • Los superiores a los normales son los comprendidos entre una y dos desviaciones típicas por encima de la media aritmética.
    • Los extraordinariamente superiores son los situados por encima de dos desviaciones típicas.
    • También se habla de valores inferiores a los normales y extraordinariamente inferiores a los normales.

 

2-ÁREAS Y FRACCIONES DE ÁREAS BAJO LA CURVA NORMAL

    La determinación del área bajo la curva normal es un problema para cuya solución se requiere del cálculo integral.

    Sin embargo el hecho de que la variable haya sido tipificada (reducida a valores z) posibilita el estudio y tabulación de una sola área bajo la curva normal, para todos los posibles valores de z

tabla.jpg (101080 bytes)

 

 

    Dentro de cualquier curva normal existe una relación precisa entre las distintas puntuaciones típicas y las fracciones de área de implican esas puntuaciones.

    Las tablas nos proporcionan el porcentaje comprendido entre la media aritmética y cualquier valor de la variable

    Primero deberemos convertir la puntuación directa en puntuación típica y después buscar su valor en la tabla.

    Si suponemos un conjunto de valores cuya media sea 50 y su desviación típica 5, y suponemos que se comportan como una serie normal:

-entre los valores 50 y 55 (0 y 1 en puntuaciones típicas) ¿qué porcentaje de valores está incluido?

Buscando en la tabla el valor 1 el porcentaje obtenido es del 34,13% , es decir, para cualquier serie normal aproximadamente un tercio de los valores está comprendido entre la media y el valor situado a una desviación típica por encima de esta.

Entre los valores 45 y 50 (-1 y 0 en puntuaciones típicas) el porcentaje será el mismo dado el hecho de que la serie normal es simétrica.

Entre los valores 45 y 55 (-1 y 1) el porcentaje de valores incluidos será 34,13 + 34,13 , es decir el 68,26% .

El resto (>55 y <45) incluirá al 31,74%

Los superiores a 55 la mitad del porcentaje anterior (15,87%).

Los inferiores a 45 serán el 15,87%.

NUEVAMENTE DECIR QUE LA TABLA SÓLO TIENE SENTIDO PARA SERIES NORMALES.

 

ejercicios de la curva normal